Minggu, 06 Maret 2011

Bilangan bulat

I. Bilangan Dan Lambangnya

Sewaktu masih sekolah dasar siswa sudah mengenal berbagai bilangan, seperti halnya :

· Bilangan Asli yang biasanya di lambangkan dengan A dimana anggotanya adalah 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya.

· Bilangan Cacah yang biasanya dilambangkan dengan C dimana anggotanya adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya.

· Bilangan Prima yang biasanya dilambangkan dengan P dimana anggotanya adalah 2, 3, 5, 7, 11, dan seterusnya.

· Bilangan Bulat, merupakan bilangan yang masih utuh yang terdiri dari bilangan nol, bilangan positif dan bilangan negatif. Bilangan bulat biasanya dilambangkan dengan B.

Coba kita amati mengenai bilangan asli, bilangan cacah dan bilangan prima ternyata bilangan-bilangan tersebut tidak dapat digunakan untuk suhu-suhu, contohnya suhu yang menunjukkan dibawah 00 C. Untuk mengukur bilangan tersebut maka kita butuh bilangan tersebut yang disebut dengan Bilangan Negatif.

1) termo.jpgBilangan Negatif

Pernahkah kalian melihat thermometer, bila air mendidih maka akan menunjukkan angka ke 1000C, tapi bila air membeku maka akan menunjukkan 00C. Coba kalian lihat gambar thermometer disamping titik bekunya menunjukkan angka dibawah 0.

Misalkan :

v Suhu 10C dibawah 00C, maka dapat ditulis -10C

v Suhu 20C dibawah 00C, maka dapat ditulis -20C

Bilangan negatif adalah suatu himpunan yang memiliki anggota negatif, sedangkan ciri bilangan negatif adalah bilangan yang nilai paling besar terletak pada nilai -1. Bisa ditulis dengan B = {-1,-5,-7,-9} terlihat nilai paling besar adalah -1.

2) Bilangan Positif

Bilangan Positif adalah suatu himpunan yang memiliki anggota positif dan bilangan asli. Bilangan ini memiliki ciri nilai paling besar adalah tak hingga. Bisa ditulis dengan B = {1,2,3,4,5,….10}.

3) Bilangan Nol

Bilangan nol adalah suatu himpunan yang memiliki anggota hanya bilangan nol saja. Bisa ditulis dengan B = {0}garbil.jpg

Jadi bilangan bulat negative berada disebelah kiri 0, sedangkan bilangan bulat positif berada disebelah kanan 0.

Dan didalam garis bilangan diatas suatu bilangan yang letaknya disebelah kanan bilangan lain maka nilaianya adalah lebih dari, Sedangkan bilangan yang telaknya disebelah kiri maka nilai kurang dari bilangan lain.

Contoh :

· ( 3 nilainya adalah lebih dari -1, dimana letak 3 disebelah kanan dari -1 ).

· (-5 nilainya adalah kurang dari -3, dimana letak dari -5 disebelah kiri -3)

Semua bilangan negative terletak disebelah kiri 0, jadi, jika berarti a adalah bilangan negative. Sebaliknya bilangan positif terletak di sebelah kanan 0. Jadi, jika berarti b adalah bilangan positif.

-5" width="553" align="left" height="197" hspace="12">

Latihan 1.

1. Gunakan bilangan positif atau bilangan negative untuk menunjukkan sebagai berikut !

a. 8 m dibawah permukaan laut.

b. Kenaikan harga sayuran sebesar Rp 500 per kg

c. Suhu kutub utara 230 C dibawah 00 C

2. Apa artiya dari :

a. -100 C

b. 80 C

c. 60 C

d. -50 C

3. Pada suatu suhu ruangan laboratorium adalah 40C. Berapa derajat suhu ruangan jika :

a. Suhu naik 60 C ?

b. Suhu turun 80 C ?

4. Susunlah bilangan bulat dibawah ini dengan urutan naik:

a. 5, -15, -11, 8, -1

b. -6, 4, -2, 3, -8

5. Sisipkan tanda <> sehingga benar

a. 45 …… -28 c. -22 ….. -11

b. -29 ….. -55 d. -88 ….. 4

II. Operasi Pada Bilangan Bulat

a. Penjumlahan dan sifat-sifatnya

1. Penjumlahan dengan Garis Bilangan

Contoh :

1. – 2 + 5

Dari titik 0 bergerak kekiri dengan 2 satuan dan dilanjutkan 5 satuan ke kanan sehingga diperoleh titik akhir 3.










garbil.jpg

2. – 4 + (- 3)

Dari titik 0 bergerak ke kiri dengan 4 satuan dan dilanjutkan 3 lagi satuan ke kiri sehingga diperoleh titik akhir -7.




garbil.jpg

3. 8 + (-3)

Dari 0 bergerak ke kanan dengan 8 satuan dan dilanjutkan 3 satuan ke kiri sehingga diperoleh titik akhir 5.















garbil.jpg


Maka dapat diperoleh :



Rounded Rectangle: • - a + (-b)   = -  ( a + b ) • - a +   b     =  - ( a – b ) , jika a lebih dari b • - a +   b     =      b – a  ,  jika b lebih dari a  -            0


2. Sifat-sifat Penjumlahan

a. Sifat komutatif ( pertukaran)

Contoh :

a) 5 + 3 = 3 + 5 = 8

b) -2 + 5 = 5 + ( - 2) = 3

Jadi

Rounded Rectangle: a  +  b  = b  +  a

b. Sifat Identitas

Contoh :

a) 0 + 5 = 5

b) -2 + 0 = -2

c) 0 + (-3) = -3

Rounded Rectangle: a  +  0 =   aJadi

c. Sifat Asosiatif

Contoh :

( -5 + 4 ) + 3 = 2

-5 + ( 4 + 3 ) = 2

Berarti ( -5 + 4 ) + 3 = -5 + ( 4 + 3 ) = 2

Jadi



Rounded Rectangle: ( a + b ) + c =  a + ( b + c)


d. Sifat tertutup

Contoh

a) 2 + 3 = 5 ( 2 dan 3 Merupakan bilangan bulat menghasilkan 5 juga

bilangan bulat)

b) -14 + ( -5) = -15 ( -14 dan -5 Merupakan Bilangan Bulat menghasilkan -15 yang

merupakan bilangan Bulat )

Jadi



Rounded Rectangle: Jika suatu bilangan bulat dijumlahkan maka akan menghasilkan bilangan bulat juga.  a  +   b  =  c  ( Dimana a, b, dan c merupakan bilangan bulat )


b. Pengurangan dan sifat-sifatnya

1. Pengurangan dengan garis bilangan

Contoh :

1. 6 – 2 = 4

Dari titik 0 kearah kanan 6 satuan dilanjutin kearah kiri 2 satuan maka akan menghasilakan nilai akhir 4.

garbil.jpg


2. 2 – ( - 3 ) = 5

Dari titik 0 kearah kanan 2 satuan kemudian karena dikurangi dengan negative yang harusnya kekriri maka menjadi kearah kanan 3 satuan yang akahirnya menjadi nilai akhir 5.




garbil.jpg



Rounded Rectangle: Untuk bilangan bulat a dan b maka : a    -     b   =   a   +    ( - b )            0


Latiahan 2

1.) Hitunglah penjumlahan berikut dengan menggunakan garis bilangan

a. 4 + 3 c. -5 + 8

b. 7 + (-2) d. -6 + ( - 4)

2.) Ayu masuk ke sebuah lift pada lantai 7 pada suatu gedung. Kemudian lif tersebut turun 6 lantai kamudian naik lagi 4 lantai. Pada lantai berapa Ayu sekarang ?

3.) Carilah n nya

a. n + ( -57 ) = - 32 c. -43 + n = 38

b. n + ( -28 ) = 36 d. –25 + n = - 41

4.) Hitunglah hasil operasi ?

a. – 65 + 26 + 65 c. 25 + (-70) + 15 + 70

b. 67 + 45 + (-67) + 55 d. (-35) + ( -60) + 35 + 75 + 60

Tugas Rumah

1.) segitiga.jpg

2.) kotakajib.jpg

2. Sifat-sifat pengurangan

a. Invers ( lawan)

Contoh:

a. 3 merupakan invers ( lawan ) dari -3

b. 2 merupakan invers ( lawan ) dari -2

c. 1 merupakan invers ( lawan ) dari -1




gar.jpg

b. Komutatif

Contoh :

· 6 - 4 = (-4) + 6 = 2

· - 4 - 2 = -2 - 4 = -6

Rounded Rectangle: a  -  b  = - b  +  aJadi

c. Asosiatif

Contoh

· ( 4 6 ) – 3 = - 5

· 4 + (-6 – 3) = - 5

Jadi



Rounded Rectangle: ( a - b ) - c =  a - ( b - c)


d. Sifat Tertutup

Contoh :

· 8 – 13 = - 5 ( 8 dan -13 merupakan bilangan bulat menghasilkan -5 yang

merupakan bilangan bulat )

· -6 – 10 = - 16 ( -6 dan 10 merupakan bilangan bulan menghasilkan -16 yang

Merupakan bilangan bulat )



Rounded Rectangle: Jika suatu bilangan bulat dikurangkan maka akan menghasilkan bilangan bulat juga.  a  -   b  =  c  ( Dimana a, b, dan c merupakan bilangan bulat )


c. Perkalian dan sifat-sifatnya

1. Perkalian bilangan positif dan negative

tabel.jpg

Tabel 1.1

Contoh:

1.

2.

Sekarang kalo menggunakan perkalian dengan bilangan positif dengan negative

1. 2 x ( -3 ) = -3 + (-3) = -6

2. Rounded Rectangle: Maka bila hasil perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negative hasilnya adalah bilangan bulat negative. a  x   ( - b) = - ab Dan sebaliknya Bila hasil perkalian dari bilangan bulat negative dengan bilangan bulat positif hasilnya adalah bulat bulat negative. ( - a )  x  b =  -ab          03 x (- 3 ) = -3 + ( - 3 ) +(-3) = -9

2. Perkalian Dua bilangan Negatif

Contoh :

5.) - 8 x ( - 12 ) = 96

6.) ( - 7 x 2 ) x (- 9 ) = 126

Rounded Rectangle: Hasil perkalian dari bilangan bulat negative dengan bilangan bulat negative hasilnya adalah bilangan positif. ( - a ) x ( -b ) = ab            0


3. Pekalian bilangan Bulat dengan 0 dan 1

1.) Perkalian dengan 0

Lihatlah table 1.1 ! Apa yang dapat kalian simpulkan mengenai suatu bilangan bulat yang dikalikan dengan bilangan 0?

Contoh :

· - 3 x 0 = 0

· 1 x 0 = 0

· 0 x 0 = 0

· 2 x 0 = 0



Rounded Rectangle: Jadi suatu bilangan bulat sembarang a dan b apabila dikalikan dengan bilangan 0 maka hasilnya adalah 0 a     x    0    =  0           0


2.) Pekalian dengan 1

Pada tabel 1.1 , Bagaimana hasilnya bilangan bulat yang dikalikan dengan 1 ?

Contoh :

· -2 x 1 = -2

· 0 x 1 = 0

· 2 x 1 = 2

· 3 x 1 = 3

Jadi



Rounded Rectangle: Suatu bilangan bulat sembarang, dimisalkan a dikalikan dengan 1 maka bilangan itu sendiri. a     x     1      =   a           0


4. Sifat-sifat perkalian bilangan Bulat

a. Sifat komutatif

Contoh :

· 5 x 2 = 2 x 5 = 10

· 2 x (-1) = (-1) x 2 = -2

Jadi



Rounded Rectangle: a x b = b x a


b. Sifat Asosiatif

Contoh :

· ( 5 x 6 ) x 2 = 60

5 x ( 6 x 2) = 60

Maka

( 5 x 6 ) x 2 = 5 x ( 6 x 2)
Jadi :



Rounded Rectangle: (a x b ) x c  = a x ( b x c )


c. Sifat Distributif

Contoh :

· 2 x ( 5 + 10 ) = ( 2 x 5 ) + ( 2 x 10 ) = 10 + 20 = 30

· 3 x ( 4 + 6 ) = ( 3 x 4 ) + ( 3 x 6 ) = 12 + 18 = 30

Jadi



Rounded Rectangle: a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x b )


5. Pembagian dan sifat-sifatnya

a. Pembagian sebagai operasi kebalikan dari perkalian

Pembagian merupakan operasi dari kebalikan dari perkalian.

Contoh:

6 : 3 = 2 ( 6 – 3 – 3 = 0 ).

Karena 2 x 3 = 6.

maka

b. Pembagian bilangan positif dengan bilangan negative

Contoh

·

Nilai pengganti yang benar adalah -3, sebab – 3 x 2 = -6.

Jadi – 6 : 2 = - 3

·

Nilai pengganti yang benar adalah -5, sebab -5

Rounded Rectangle: Maka bila hasil pembagian bilangan bulat positif  dibagi dengan bilangan bulat negative hasilnya adalah bilangan bulat negative. a  :   ( - b) = - c Dan sebaliknya Bila hasil pembagian dari bilangan bulat negative dibagi dengan bilangan bulat positif hasilnya adalah bulat bulat negative. ( - a )  :  b =  - c          0


c. Pembagian Dua bilangan Bulat Negatif

Contoh :

·

Nilai pengganti yang benar adalah 4, sebab 4 x ( - 3 ) = -12.

Jadi, - 12 : (-3) = 4.



Rounded Rectangle: Hasil pembagian dari bilangan bulat negative  dibagi dengan bilangan bulat negative hasilnya adalah bilangan positif. ( - a ) : ( -b ) = c            0


d. Pembagian dengan Nol

Kalian sudah mempelajari perkalian dengan 0, sekarang perhatikan pembagian dengan 0.

Contoh :

· 8 : 0 = ….

Untuk menjawab harus diperoleh suatu bilangan jika dikalikan dengan 0 hasilnya 8. Ternyata tidak ada satu pun nilai pengganti p yang memenuhi p x 0 = 8 sehingga menjadi kalimat yang benar.



Rounded Rectangle: Jadi suatu bilangan bulat sembarang a apabila dibagi dengan bilangan 0 maka hasilnya adalah tak terdefinisikan a     :    0    =  ~ ( tak terdefinisikan)           0

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar